Voir la source de Théorème de Pythagore

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{{Unicode}}
[[Fichier:Pythagorean theorem abc.svg|thumb|right|alt=Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.|Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle.]]
Le '''théorème de Pythagore''' est un [[théorème]] de [[géométrie euclidienne]] qui met en relation les longueurs des [[côté]]s dans un [[triangle rectangle]]. Il s'énonce fréquemment sous la forme suivante : 
: Si un triangle est rectangle, le carré de la longueur de l’[[hypoténuse]] (ou côté opposé à l'[[angle droit]]) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème permet notamment de calculer l’une des longueurs à partir des deux autres.

Il doit son nom à [[Pythagore|Pythagore de Samos]], philosophe de la [[Grèce antique]] du {{-s-|VI}}, cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en [[Mésopotamie]] et a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures. 

La plus ancienne démonstration qui nous soit parvenue est due à [[Euclide]], vers [[300 av. J.-C.|-300]]. Même si les [[mathématicien]]s grecs en connaissaient sûrement une auparavant, rien ne permet de l'attribuer de façon certaine à Pythagore. 

Les premières [[Démonstration (logique et mathématique)|démonstration]]s historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’[[aire (géométrie)|aire]] par découpage et déplacement de [[Figure (géométrie)|figures géométriques]]. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de [[distance (mathématiques)|distance]] qui est définie pour respecter ce théorème.

Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les [[tétraèdre]]s, ou en [[géométrie non euclidienne]] comme à la surface d’une [[sphère]].

Plus généralement, ce théorème a de nombreuses applications dans divers domaines très différents ([[architecture]], [[ingénierie]]...), encore aujourd'hui, et a permis nombres d'avancées technologiques à travers l'histoire.

== Énoncés ==

=== Théorème ===
[[Fichier:Pythagorean right angle.svg|thumb|alt=Triangle rectangle muni de carrés formés sur chacun de ses côtés.|Une représentation géométrique du théorème : l’aire du grand carré bleu ciel est la somme des aires des deux autres carrés.]]
La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante :
{|
|{{Théorème|Théorème de Pythagore|Dans un [[triangle rectangle]], le carré de la longueur de l’[[hypoténuse]] est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.}}
|}

En particulier, la longueur de l’hypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté.

Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur. Toutefois l’élévation au [[carré (algèbre)|carré]] (algébrique), qui n’a de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction d’un [[carré]] (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème s’appuient d’ailleurs sur une égalité d’[[aire (géométrie)|aires]] entre le carré construit sur l’hypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés.

En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans l’implication suivante :
{|
|{{Théorème|Théorème de Pythagore|Si un triangle {{mvar|ABC}} est rectangle en {{mvar|C}}, alors {{math|''AB''{{2}} {{=}} ''AC''{{2}} + ''BC''{{2}}}}.}}
Avec les notations usuelles {{math|''AB'' {{=}} ''c''}}, {{math|''AC'' {{=}} ''b''}} et {{math|''BC'' {{=}} ''a''}} (cf. figure ci-dessous), la formule s’écrit encore : {{math|''a''{{2}} + ''b''{{2}} {{=}} ''c''{{2}}}}, on peut alors isoler {{math|''c''}} en appliquant l'opération de la [[racine carrée]] à l'égalité pour écrire: {{math|''c'' {{=}} {{Racine|''a''{{2}} + ''b''{{2}}}}}}
[[Fichier:Rtriangle.svg|center|thumb|Triangle {{mvar|ABC}} rectangle en C avec les notations AB = ''c'', AC = ''b'' et BC = ''a''.]]
|}

Par [[contraposée]] :
{|
|{{Théorème|Si {{math|''AB''{{2}}}} n’est pas égal à {{math|''AC''{{2}} + ''BC''{{2}}}} alors le triangle n’est pas rectangle en {{mvar|C}}.}}
|}

=== Réciproque ===
L’[[implication réciproque]] est également vraie :
{{Théorème|Réciproque du théorème de Pythagore|Si {{math|''AB''{{2}} {{=}} ''AC''{{2}} + ''BC''{{2}}}} alors le triangle {{mvar|ABC}} est rectangle en {{mvar|C}}.
|style=display:table}}

Pour une formulation sans notations des sommets, le terme « hypoténuse » n'est utilisable qu'une fois acquis que le triangle est rectangle :
{{Théorème|Réciproque du théorème de Pythagore|Si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté.
|style=display:table}}

Par contraposée de la réciproque :
{{Théorème|Si un triangle {{mvar|ABC}} n’est pas rectangle en {{mvar|C}}, alors {{math|''AB''{{2}}}} n’est pas égal à {{math|''AC''{{2}} + ''BC''{{2}}}}.
|style=display:table}}

La réciproque se déduit du théorème lui-même et d'un [[triangles isométriques|cas d'« égalité » des triangles]] : si l'on construit un triangle rectangle en {{mvar|C}} de sommets {{mvar|A}}, {{mvar|C}} et {{mvar|B'}}, avec {{math|''CB{{'}}'' {{=}} ''CB''}}, on a {{math|''AB'' {{=}} ''AB{{'}}''}} par le théorème de Pythagore, donc un triangle isométrique au triangle initial (les trois côtés sont deux à deux de même longueur). L'angle en {{mvar|C}} du triangle initial {{mvar|ABC}}, identique à celui du triangle {{mvar|AB'C}}, est donc droit.

=== Équivalence ===
Comme la réciproque est vraie, on dit que l'on a une [[Équivalence logique|équivalence]] : la propriété sur les carrés des longueurs des côtés du triangle est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit dit rectangle en {{mvar|C}} :
{{Théorème|{{mvar|ABC}} est rectangle en {{mvar|C}} si et seulement si {{math|''AB''{{2}} {{=}} ''AC''{{2}} + ''BC''{{2}}}}.
|style=display:table}}

=== Triplets pythagoriciens ===
{{article détaillé|Triplet pythagoricien}}

Quand trois nombres [[entier naturel|entiers]] vérifient la même relation que celle donnée par le théorème de Pythagore pour les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire que le carré du plus grand est la somme des carrés des deux autres, on les nomme « triplets pythagoriciens ». Le plus simple et le plus connu est le triplet (3,4,5) : 3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les longueurs des côtés sont 3, 4 et 5 est rectangle.

== Applications ==
=== Arpentage ===
[[Fichier:13knoten rw.png|vignette|alt=Triangle de dimensions 3-4-5 avec les côtés gradués par des points symbolisant les nœuds d’une corde.|[[Corde à treize nœuds]] (le dernier superposé au premier) disposée en triangle rectangle.]]
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, si un triangle a des côtés de longueurs 3, 4 et 5 (par rapport à une [[unité de longueur|unité]] quelconque) alors il est rectangle.
{{Exemple flottant|float=center|contenu=<math>3^2+4^2 = 9+16\,</math><br> <math>5^2 = 25\,</math>|légende=Vérification de la relation pour un triangle de longueurs de côté 3, 4 et 5.|width=230px}}

Ce cas particulier de [[#Triplets pythagoriciens|triplet pythagoricien]] justifie l’usage de la [[corde à treize nœuds]], qui permettait de mesurer des distances mais aussi d’obtenir un angle droit sans [[équerre]] rigide en répartissant les douze intervalles qui séparent les nœuds sur les trois côtés d’un triangle de dimensions 3 – 4 – 5.

=== Nature d'un triangle ===
Le théorème (ou plutôt sa [[contraposée]]) et sa réciproque montrent que la relation donnée entre les longueurs des côtés est une propriété caractéristique des triangles rectangles, ce qui permet de l’utiliser comme test dans la détermination de la nature d’un triangle :
* si {{math|''AB''{{2}} {{=}} ''AC''{{2}} + ''BC''{{2}}}} alors le triangle est rectangle en {{mvar|C}} ;
* si {{math|''AB''{{2}}}} n’est pas égal à {{math|''AC''{{2}} + ''BC''{{2}}}} alors le triangle n’est pas rectangle en {{mvar|C}}.
En effectuant le test pour le sommet opposé au plus grand côté du triangle (seul sommet susceptible d'abriter l'angle droit), on peut déterminer si le triangle est rectangle ou non à partir des longueurs de ses côtés.

=== Distance euclidienne ===
[[Fichier:CercleTrigoTriangle.svg|thumb|L'égalité {{formule|1=cos{{2}} ''α'' + sin{{2}} ''α'' = 1}} comme cas particulier du théorème de Pythagore.]]
Dans le plan muni d’un [[base orthonormale|repère orthonormé]], la distance entre deux points s’exprime en fonction de leurs [[coordonnées cartésiennes]] à l’aide du théorème de Pythagore par :

{{retrait|<math>AB {{=}} \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}</math>.}}

Cette formule est analogue à celle qui donne la [[norme (mathématiques)|norme]] d’un [[vecteur]] de coordonnées {{math|(''x'' ; ''y'')}} dans une [[base orthonormale|base orthonormée]] :
{{retrait|<math>\lVert\vec u\rVert =\sqrt{x^2+y^2}</math>.}}

Ces formules se généralisent en [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] plus grande.

=== Relation trigonométrique ===
En considérant le [[Fonction trigonométrique|cosinus]] et le [[Fonction trigonométrique|sinus]] d’un angle α comme l'[[abscisse]] et l'[[ordonnée]] d’un point du [[cercle trigonométrique]] repéré par cet angle, et le rayon du cercle trigonométrique de longueur 1 comme l'hypoténuse, le théorème de Pythagore permet d’écrire :
<center><math>\cos^2\alpha + \sin^2\alpha=1</math>.</center>

== Histoire ==
[[Fichier:Plimpton 322.jpg|thumb|alt=Tablette munies d’inscriptions cunéiformes disposées en lignes.|La [[tablette Plimpton 322]], datant d'environ 1800 {{av JC}}, donne une liste de nombres disposés en colonnes avec des en-têtes ; deux des colonnes correspondent à l'hypoténuse et au plus petit côté d'un triangle rectangle, ainsi que l'annoncent les entêtes<ref name="Robson2002"/>.]]
[[Pythagore]] vivait au {{-s-|VI}}, mais l'histoire du théorème de Pythagore commence plus d'un millénaire auparavant, comme en témoignent plusieurs tablettes d'argile de l'[[époque paléo-babylonienne]]<ref>{{harvsp|Høyrup|1998}}.</ref>. Il n'y a aucune preuve archéologique qui permette de remonter plus avant, même si quelques hypothèses existent.

Ainsi les travaux d'[[Alexander Thom]], qui imagine une organisation de [[mégalithe|sites mégalithiques]] datant du {{-s-|XXV}} en [[Grande-Bretagne]] et en France utilisant triangles rectangles et [[#Triplets pythagoriciens|triplets pythagoriciens]], sont fortement contestés<ref>Voir {{Lien web|auteur=Olivier Keller|url=http://irem.univ-reunion.fr/IMG/pdf/Keller_prehistoire_geometrie.pdf|titre=Préhistoire de la géométrie : le problème des sources|site=[[IREM]] de [[La Réunion]]|date=août 2001}} ; voir également {{Ouvrage|auteur=Maurice Caveing|titre=Le Problème des objets dans la pensée mathématique|sous-titre=problèmes et controverses|éditeur=Vrin|année=2004|url={{Google Livres|sFpElpZRbSgC|page=56}}|page=56}}, qui critique l'utilisation des travaux de Thom par [[Bartel Leendert van der Waerden]] dans {{Ouvrage|lang=en|titre=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations|éditeur=Springer Verlag|année=1983}}.</ref>. L'hypothèse parfois avancée que le théorème aurait été connu de l'Égypte ancienne dès le [[Moyen Empire]] paraît elle aussi difficile à établir<ref>Le [[Papyrus Berlin 6619]] qui peut dater du {{-s-|XIX}} est parfois évoqué, mais cela est très contesté {{harv|Rossi|2007|p=217}}. Il présente bien un problème du second degré dont la solution met en jeu implicitement le triplet (3, 4, 5), mais il n'est pas question de triangle rectangle. Voir également ci-dessous le paragraphe [[#Égypte ancienne|Égypte ancienne]].</ref>.

=== Mésopotamie ===
[[Fichier:Si427o.jpg|vignette|Tablette Si427]]
[[Fichier:RopeWall.svg|thumb|Illustration d'un problème posé (sans cette illustration) à l'époque paléo-babylonienne sur la tablette d'argile BM 85196 (entre -2000 et -1600), et que l'on peut formuler ainsi : une perche de longueur 30 unités est posée verticalement contre un mur, l'extrémité haute glisse verticalement vers le bas de 6 unités, de combien l'extrémité basse glisse-t-elle horizontalement ? La « règle de Pythagore » donne la solution, à savoir {{nobr|1={{racine|30{{2}} – (30 – 6){{2}}}} = 18 unités<ref>Voir {{harvsp|Høyrup|1998|p=396}}, la solution est décrite de façon procédurale, voir {{article|langue=en|prénom1=Duncan J.|nom1=Melville|titre=Poles and walls in Mesopotamia and Egypt|périodique=Historia Mathematica|volume=31|année=2004|pages=148–162|lire en ligne=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086003000776}}.</ref>.}}On retrouve plus tard ce problème de la perche ou du roseau posé contre un mur sur les papyrus égyptiens de l'[[Dynastie des Ptolémées|époque ptolémaïque]], les tablettes [[séleucide]]s<ref name="melville">{{harvsp|Melville|2004}}.</ref>. Il devient un classique des [[mathématiques arabes]]<ref>{{Lien web|auteur=Éliane Cousquer|url=http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/2/78/40/05/histoire_des_maths/pythagore.pdf |format=pdf |titre=Le Théorème de Pythagore}}.</ref>, et on le pose encore de nos jours<ref name="melville" />.]]

Les historiens des mathématiques et [[assyriologie|assyriologues]]<ref>Autour d'[[Otto Neugebauer]] en Allemagne, puis de [[François Thureau-Dangin]] en France, voir {{Article|lang=en|auteur=Jens Høyrup|titre=Changing Trends in the Historiography of Mesopotamian Mathematics: An Insider's View|revue=History of Science|vol=34|année=1996|p.=1-32|url=http://akira.ruc.dk/~jensh/publications/1991%7bb%7d_Changing%20Trends.PDF}}.</ref> ont découvert à la fin des années 1920 que s'était forgée en [[Mésopotamie]] (l'ancien [[Irak]]), à l'époque [[paléo-babylonienne]] une culture mathématique dont l'objet n'était pas purement utilitariste<ref>{{harvsp|Høyrup|1998|p=393}}.</ref>([[numération mésopotamienne]] finale : sexagésimale positionnelle avec base décimale accessoire).

Plusieurs des [[tablette d'argile|tablettes d'argile]] qui ont été retrouvées et analysées montrent que la relation entre les longueurs des côtés du rectangle et celle de sa diagonale (soit entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle) était connue<ref>{{Article|auteur=E.M. Bruins|titre=Aperçu sur les mathématiques babyloniennes|revue=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|vol=3|numéro=4|année=1950|p.=312|url=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1950_num_3_4_2857}}.</ref> et utilisée pour résoudre des problèmes calculatoires<ref>Plusieurs sont décrits par {{harvsp|Høyrup|1998}}.</ref>. 

Des "tablettes cadastrales" (dont la plus ancienne date de -2340 à -2200 ) établies pour le commerce ou l'administration de parcelles exposent ainsi cette connaissance. La tablette Si427<ref>{{Lien web |langue=fr-FR |prénom=Guru |nom=Med |titre=Le plus ancien exemple de géométrie appliquée a été découvert dans une tablette d'argile babylonienne vieille de 3 700 ans |url=https://www.gurumed.org/2021/08/05/le-plus-ancien-exemple-de-gomtrie-applique-a-t-dcouvert-dans-une-tablette-dargile-babylonienne-vieille-de-3-700-ans/ |site=GuruMeditation |date=2021-08-05 |consulté le=2022-09-01}}</ref> ''datant de -1900 à -1600'' a été {{quand|récemment}} redécouverte par Daniel Mansfield (École de mathématiques et de statistiques de Sydney, [[Australie]])   au ''[[Musée archéologique d'Istanbul|Istanbul Arkeoloji Müzeleri]].'' Découverte à Sippar (Irak), elle montre ainsi un terrain avec tour, aire de battage et marécage dont une des parcelles a été mise en vente par son propriétaire. Elle présente des découpes de trapèzes et de triangles rectangles ainsi que quelques triplets pythagoriciens<ref>{{Article|auteur1=Olivier Donnars|titre=Le théorème d'avant Pythagore|périodique=Science et vie|date=septembre 2022|accès url=payant}}</ref>. 

La tablette [[Plimpton 322]] datant de vers -1800 donne une liste ordonnée de nombres associés à des [[#Triplets pythagoriciens|triplets pythagoriciens]], soit des [[entier naturel|entiers]] {{nobr|(''a'', ''b'', ''c'')}} satisfaisant la relation {{nobr|1=''a''{{2}} + ''b''{{2}} = ''c''{{2}}}}. La tablette ne donne que deux nombres du triplet, mais les associe explicitement au plus petit côté et à la diagonale d'un rectangle<ref name="Robson2002">Pour une description de la tablette et diverses interprétations, voir {{harvsp|Robson|2002}}.</ref>{{,}}<ref>https://doi.org/10.1016/j.hm.2017.08.001</ref>{{,}}<ref>[https://link.springer.com/article/10.1007/s10699-021-09806-0 Plimpton 322: A Study of Rectangles]</ref>. La première colonne ne contient pas un de 3 éléments du triplet  mais une combinaison des 3 dont l'interprétation varie selon les hypothèses et les reconstitutions des parties manquantes. Ce pourrait être une tablette d'exercice pour étudiant mais la régularité des éléments laissent penser à une table. Les inscriptions sont en caractère cunéiforme, en base 60 avec numérotation de position<ref>{{Ouvrage|prénom1=Georges|nom1=Ifrah|titre=Histoire universelle des chiffres : l'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul|passage=p359|éditeur=R. Laffont|date=1994|isbn=2-221-07838-1|isbn2=978-2-221-07838-9|isbn3=2-221-05779-1|oclc=32511226|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/32511226|consulté le=2022-08-16}}</ref>. 

Il n'y a pas trace de l'énoncé d'un théorème, et les historiens préfèrent souvent utiliser un autre mot, certains parlent par exemple de « règle de Pythagore »<ref>{{harvsp|Robson|2002}}, {{harvsp|Høyrup|1998}}.</ref>. Ni celle-ci, ni le principe qui la sous-tend ne sont explicitement énoncés non plus, mais les exemples montrent bien qu'une règle générale est connue<ref>{{harvsp|Høyrup|1998|p=402}}.</ref>.

La datation et l'origine exacte des tablettes d'argile n'est pas toujours évidente, beaucoup de celles-ci ont été achetées sur le marché des antiquités comme la tablette Plimpton 322, mais les historiens peuvent s'appuyer sur des éléments linguistiques, et les similarités avec celles dont l'origine est connue, ayant été obtenues par des fouilles archéologiques régulières. Les traces que l'on a des cultures antérieures rendent peu vraisemblable la découverte de la « règle de Pythagore », avant -2300, celle-ci pourrait apparaître entre -2025 et -1825<ref>{{harvsp|Høyrup|1998|p=406-407}}.</ref>.

=== Inde ===
En [[Inde]], un énoncé du théorème, sous sa forme la plus générale, apparaît dans l'{{lien|Apastamba}}, l'un des [[Śulba-Sūtras]], ces ''traités du cordeau'' qui codifient les règles des constructions destinées aux [[védisme|rituels védiques]]. Ceux-ci ont été rédigés entre le {{-s mini-|VIII}} et le {{s-|IV}} avant notre ère (par ailleurs certains triplets pythagoriciens sont mentionnés dans des textes bien antérieurs). Les Sulbasutras parlent du rectangle et de sa diagonale, plutôt que de triangle<ref>{{harvsp|Vitrac|1990|p=315}}.</ref>.

=== Chine ===
Le théorème apparaît également en [[Chine]] dans le ''[[Zhoubi suanjing]]'' (« Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou »), un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois<ref>{{harvsp|Martzloff|2006|p=13}}.</ref>. Ce dernier, écrit probablement durant la [[dynastie Han]] ([[206 av. J.-C.]] à [[220]]), regroupe des techniques de calcul datant de la [[dynastie Zhou]] ({{-s-|X}} à [[-256]]). Le théorème ou procédure s’énonce de la manière suivante :
{{Citation bloc|En réunissant l’aire (''mi'') de la base (''gou'') et l’aire de la hauteur (''gu''), on engendre l’aire de l’hypoténuse.}}
Mais la question se pose de savoir si ce théorème — ou cette procédure — était muni ou non d’une démonstration. Sur ce point les avis sont partagés<ref>{{harvsp|Chemla et Shuchun 2005|p=681}}.</ref>. Le théorème, sous le nom de ''Gougu'' (à partir des mots « base » et « altitude »), est repris dans le ''Jiuzhang suanshu'' ([[Les neuf chapitres sur l'art mathématique]], [[100 av. J.-C.]] à [[50]]), avec une démonstration, utilisant un découpage et une reconstitution, qui ne ressemble pas à celle d’Euclide et qui illustre l'originalité du système démonstratif chinois<ref>{{Chapitre|titre=Quelques exemples de démonstration en mathématiques chinoises|prénom=Jean-Claude|nom1=Martzloff|lien auteur1=Jean-Claude Martzloff|titre ouvrage=La démonstration mathématique dans l’histoire|éditeur=IREM de Lyon|année=1990|passage=131-132}}.</ref>.

=== Égypte ancienne ===
Aucun texte connu de l'[[Égypte antique]] ne permet d'attribuer aux Égyptiens une connaissance en rapport avec le théorème de Pythagore, avant un document écrit sur [[Papyrus (papier)|papyrus]] en [[égyptien démotique|démotique]], généralement daté vers [[300 av. J.-C.]] qui mentionne trois triplets pythagoriciens<ref>{{harvsp|Rossi|2007|p=64}}.</ref>. Ceci peut tenir à la fragilité du support employé : peu de textes mathématiques de l'[[Égypte antique]] nous sont parvenus. Mais le plus notable d'entre eux, le [[papyrus Rhind]], une copie effectuée vers 1650 d'un document datant de [[1800 av. J.-C.]], apparaît comme une somme des connaissances mathématiques de l'époque. Or ni triplets pythagoriciens, ni rien en rapport avec le théorème, n'y apparaît, ce qui laisse penser qu'il est ignoré à ces dates<ref>{{harvsp|Maor|2007|p=14}}.</ref>.

Il n'est cependant pas impossible que le triangle rectangle 3-4-5, celui dont les côtés correspondent au triplet pythagoricien le plus simple, soit connu en Égypte dès une époque assez ancienne. [[Plutarque]] décrit (à la fin du {{s-|I}} de notre ère) une interprétation symbolique religieuse du triangle<ref>Il s'agit du traité sur [[Isis]] et [[Osiris]], dans les [[Œuvres morales]], voir [https://books.google.fr/books?id=yd0TAAAAQAAJ&pg=333#v=onepage&q&f=false ''De Isis et Osiris'', une traduction du texte de Plutarque].</ref>. Mais à l'époque de Plutarque, le syncrétisme religieux a cours dans l'Égypte sous domination romaine, après avoir été gouvernée par les [[Dynastie des Ptolémées|Ptolémées]], et il est délicat de déterminer l'origine de cette interprétation, encore plus de la dater<ref>{{harvsp|Rossi|2007|p=64-65}}.</ref>.

L'hypothèse de l'utilisation en architecture du triangle 3-4-5 obtenu en utilisant des cordes, éventuellement pourvues de nœuds espacés régulièrement, et tendues en particulier pour tracer des angles droits, est pour le moins discutée<ref>{{harvsp|Maor|2007|p=14-15}}.</ref>{{,}}<ref>L'usage de cordes pour l'[[arpentage]] est quant à lui bien attesté, il est représenté dans des tombes de la [[XVIIIe dynastie égyptienne|{{XVIIIe}} dynastie]] {{harv|Rossi|2007|p=154.}}, mais sans trace de nœuds {{harv|Rossi|2007|p=155-156}}.</ref>. Les faces de la [[pyramide de Khephren]] ont une [[Pente (mathématiques)|pente]] de 4/3, mais il existe des explications simples pour leur construction, qui ne supposent pas la connaissance du triangle correspondant<ref>{{harvsp|Rossi|2007|p=221}}.</ref>. Pour les tracés horizontaux, au vu de ce que l'on sait des cordes disponibles à l'époque et de leur élasticité, la précision de la méthode ne paraît pas compatible avec celle des constructions de grande dimension de l'Égypte antique<ref>{{harvsp|Rossi|2007|p=155}}.</ref>, mais pourrait fonctionner pour des salles ou des édifices de plus petite dimension<ref>De nombreuses tentatives de reconstitutions de plans d'édifices à partir de triangles (pas forcément rectangles) ont eu lieu depuis le {{s-|XIX}} {{harv|Rossi|2007|p=7-28}}. Parmi les plus récentes : [[Jean-Philippe Lauer]] utilise le triangle 3-4-5, compte-rendu critique et références {{harv|Rossi|2007|p=158-161.}}, [[Alexandre Badawy]] l'utilise accompagné d'autres triangles, compte-rendu critique et références {{harv|Rossi|2007|p=32-56}}.</ref>. Ainsi le tracé d'une voûte elliptique datant de la {{XXe}} dynastie découvert par [[Georges Daressy]] correspond à une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] dont le foyer, le centre et une intersection avec le [[petit axe]], forment un triangle 3-4-5. Par ailleurs une ellipse peut, elle-même, se tracer facilement à l'aide d'une corde tendue<ref>{{harvsp|Rossi|2007|p=117.}} ; cet exemple est jugé le plus convaincant pour une relation entre l'utilisation de cordes et le triangle 3-4-5 par {{harvsp|Rossi|2007|p=159}}.</ref>.

Il reste que la connaissance de ce que le triangle 3-4-5 est droit, même si elle n'a rien d'invraisemblable, n'attesterait de toute façon nullement que les carrés des côtés aient été comparés, encore moins de la connaissance du théorème de Pythagore<ref>{{harvsp|Rossi|2007|p=218}}.</ref>.

=== Les Grecs : de Pythagore à Euclide ===
Le théorème et sa conclusion, accompagnés de démonstrations, concluent le [[livre I des Éléments d'Euclide|livre I]] des [[Éléments d'Euclide|''Éléments'']] d'[[Euclide]], rédigés probablement au début du {{-s-|III}}<ref>Caveing, « Introduction générale », {{p.|15}}, in {{harvsp|Vitrac|1990}}.</ref>. Le théorème lui-même est donné à la proposition {{rom-maj|XLVII|47}} sous la forme suivante<ref name="Euclide">''Éléments'' d'Euclide, traduction Henrion [[Référence:Éléments (Euclide)|Référence]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g document en ligne sur le site de la BNF (Ressources Gallica)]. Livre I (cisaillement [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g.image.f67.pagination proposition XXXV {{p.|62}}], parallélogramme et triangle de même base [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g.image.f74.pagination proposition XLI {{p.|69}}], le théorème [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g.image.f81.pagination proposition XLVII {{p.|76}}], réciproque [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g.image.f83.pagination proposition XLVIII {{p.|78}}]) et Livre VI (généralisation aux figures semblables [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g.image.f246.pagination proposition XXXI {{p.|241}}]).</ref> :
{{Citation bloc|Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l’angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés.}}
Sa réciproque est la proposition {{rom-maj|XLVIII|48}}<ref name="Euclide"/> :
{{Citation bloc|Si le carré de l’un des côtés d’un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l’angle soutenu par ces côtés est droit.}}
[[Fichier:Kapitolinischer Pythagoras.jpg|vignette|alt=Buste de Pythagore|[[Pythagore]], copie ancienne d'un original du milieu du {{-s-|V}} ([[Musées du Capitole]]).]]
[[Proclus]] dans ses commentaires (autour de l’an [[400]]) relate, avec scepticisme, que certains attribuent à [[Pythagore]] la découverte du théorème, et attribue à Euclide la démonstration qu'il donne dans ses Éléments<ref name="Pages10et11_Cousquer_ddata.over-blog.com">{{Lien web|auteur=Éliane Cousquer|url=http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/2/78/40/05/histoire_des_maths/pythagore.pdf|titre=Le Théorème de Pythagore|page=10-11}}.</ref>. Les témoignages connus au sujet des contributions mathématiques de Pythagore sont tardifs : au plus tôt du {{-s-|I}}, alors que Pythagore aurait vécu au {{s-|VI}} avant notre ère. Un [[Distique élégiaque|distique]] attribué à Apollodore de [[Cyzique]] ({{-s-|IV}}) et cité par [[Plutarque]] ({{s-|I}} de notre ère) pourrait faire exception s'il s'agit bien du théorème<ref name="Vitrac311">{{harvsp|Vitrac|1990|p=311}}.</ref>, mais Plutarque lui-même en doute<ref>{{harvsp|Vitrac|1990|p=377}}.</ref>. L'identité exacte de l'auteur du distique, et donc la date de sa composition, n'ont d'ailleurs elles-mêmes rien d'évident<ref name="Vitrac311"/>. Il n'y a cependant aucun doute que le théorème était connu des Grecs bien avant Euclide, par exemple [[Hippocrate de Chio]] ({{-s-|V}}), l'auteur du [[théorème des deux lunules]], ne pouvait l'ignorer. Aussi certains historiens ont tenté de reconstituer leurs démonstrations, celle d'Euclide ayant pu être contrainte par la structure de son traité axiomatique. Ainsi n'a-t-il pas encore abordé les proportions quand il démontre le théorème de l'hypoténuse au livre I, ce qui lui interdit une démonstration analogue à celle [[#Par des triangles semblables|par les triangles semblables]]<ref>{{harvsp|Vitrac|1990|p=313}}.</ref>.

=== Incommensurabilité ===
Le théorème de Pythagore joue un rôle dans la découverte par les mathématiciens grecs, probablement au {{-s-|V}}, de grandeurs [[Commensurabilité (mathématiques)|incommensurable]]s (qui ne peuvent pas être mesurées avec une même unité), [[prémisse]] des nombres [[nombre irrationnel|irrationnels]], en particulier à travers le cas particulier du triangle rectangle isocèle, pour lequel on dispose d'une démonstration particulièrement simple par [[Racine carrée de deux#Dupliquer un carré|duplication du carré]]<ref>{{harvsp|Vitrac|1990|p=314}}.</ref> : un carré dont le côté sert d’unité a une diagonale dont le carré de la longueur vaut 2.

L'incommensurabilité a pu être mise en évidence géométriquement, sans qu'il soit question de racine carrée donc sans recourir au théorème de Pythagore<ref name="Caveing183">{{Ouvrage|prénom1=Maurice|nom1=Caveing|titre=La figure et le nombre|sous-titre=Recherches sur les premières mathématiques des Grecs|éditeur=[[Presses universitaires du Septentrion]]|année=1998|pages totales=424|passage=183|isbn=978-2-85939-494-3|lire en ligne={{Google Livres|T6CSoU9bMF8C}}}}.</ref>, mais le théorème de Pythagore autorise une preuve arithmétique, dans le cas de la diagonale du carré en montrant qu'aucune [[Fraction (mathématiques)|fraction]] d’[[entier naturel|entiers]] n’a de carré égal à 2, soit l'irrationalité de <math>\sqrt{2}</math><ref name="Caveing183"/>.

Une thèse très répandue chez les historiens jusqu'au milieu du {{s-|XX}}, mais discutée ensuite, est que l'incommensurabilité joue un rôle important dans le développement des mathématiques grecques pré-euclidiennes<ref>{{chapitre|prénom1=Ken|nom1=Saito|année=2004|langue=en|titre=Studies on proportion theory and incommensurability (introduction)|passage=187-189|titre ouvrage=Classics in the History of Greek Mathematics|auteur ouvrage=Jean Christianidis (ed.)|éditeur=Springer|isbn=978-90-481-5850-8}}.</ref>.

== Démonstrations ==
Plusieurs centaines de [[Démonstration (logique et mathématique)|démonstration]]s différentes<ref name=Bogomolny>{{Lien web|langue=en|titre=Pythagorean theorem|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras|auteur=Alexander Bogomolny|éditeur=[[Cut The Knot]]}}, propose 99 démonstrations différentes du théorème mais cite ''{{langue|en|The Pythagorean Proposition}}'' (par Elisha Scott Loomis, au début du {{s-|XX}}) qui en rassemble 367.</ref> ont été répertoriées pour le théorème de Pythagore. La plupart sont construites sur des égalités d’aires obtenues par découpage et recollement, voire en utilisant des rapports d’aires de triangles semblables. La définition du produit scalaire en géométrie repérée fournit aussi une démonstration purement algébrique. De nombreuses autres démonstrations ont été recensées<ref name=Bogomolny/>, utilisant des outils mathématiques variés. [[Léonard de Vinci]]<ref>{{lien web |langue=en|titre=Pythagorean theorem|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras|auteur=Alexander Bogomolny|éditeur=Cut The Knot}}, proof 16.</ref> et le président américain [[James Abram Garfield|James Garfield]]<ref>{{lien web |langue=en|titre=Pythagorean theorem|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras|auteur=Alexander Bogomolny|éditeur=Cut The Knot}}, proof 5.</ref> en ont proposé.

=== Par soustraction d'aires ===
[[Fichier:Pythagoralg001.svg|left|alt=Carré de côté c inscrit dans un carré de côté a + b, tel que les quatre triangles constituant le complémentaire ont pour longueurs de côté a, b et c.]]

[[Fichier:Pythag anim.gif|thumb|left|Animation prouvant le théorème par réarrangement de quatre triangles rectangles identiques.]]

[[Fichier:Pythagorean proof.svg|thumb|alt=Juxtaposition de deux figures représentant un même carré dans lequel s’inscrivent quatre copies d’un même triangle rectangle, agencées à gauche pour laisser deux carrés formés sur leurs cathètes, et à droite pour laisser un carré formé sur leurs hypoténuses.|Démonstration du théorème par soustraction d’aires égales d’un même carré.]]

Pour un triangle rectangle donné, il est possible de l’inscrire en quatre exemplaires dans les coins d’un carré dont le côté a pour longueur la somme des longueurs des côtés de l'angle droit. Les quatre hypoténuses forment alors un carré, par égalité de longueur et sachant que chacun de ses angles est supplémentaire des deux angles aigus du triangle.

Avec les notations usuelles, l’aire totale du grand carré vaut donc (''a + b''){{2}} et l’aire du carré intérieur vaut ''c''{{2}}. La différence est constituée par quatre triangles d’aire ''ab''/2 chacun.

La relation algébrique entre ces aires s’écrit alors {{nobr|1=(''a + b''){{2}} = 4 (''ab''/2) + ''c''{{2}}}}, c’est-à-dire {{nobr|1=''a''{{2}} + 2''ab + b''{{2}} = 2''ab + c''{{2}}}}, ce qui revient à {{nobr|1=''a''{{2}} + ''b''{{2}} = ''c''{{2}}.}}

Aucun [[calcul algébrique]] n'est cependant nécessaire : on peut conclure par un réarrangement des quatre triangles rectangles dans le grand carré, comme celui indiqué sur l'animation ou celui indiqué sur la figure à droite.
{{clr}}

=== Par des triangles semblables ===
[[Fichier:Triángulo rectángulo.svg|thumb|left|Le triangle ACB rectangle en C est découpé par la hauteur issue de C en deux triangles rectangles HAC et HCB semblables au triangle initial.]]
Il n’y a pas trace de la démonstration qu’aurait conçue Pythagore et les historiens envisagent deux types de démonstrations : ou bien une démonstration fondée sur un découpage comme celui de la section précédente ou le [[#Par le puzzle de Gougu|puzzle de ''Gougu'']],  ou bien une démonstration utilisant les proportionnalités des triangles découpés par la hauteur issue de l’angle droit<ref name="Cousquer13">{{Lien web|auteur=Éliane Cousquer|url=http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/2/78/40/05/histoire_des_maths/pythagore.pdf|titre=Le Théorème de Pythagore}} {{p.|13}}.</ref>. Une telle démonstration est donnée par Euclide à la proposition 31 du [[Livre VI des Éléments d'Euclide|Livre VI des ''Éléments'']] (pour une généralisation du théorème){{sfn|Vitrac|1994|p=236-237}}.

En effet, soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ACB rectangle en C. Alors les deux triangles rectangles AHC et CHB sont semblables au triangle initial, par égalités des angles, puisqu'ils partagent à chaque fois un des angles non droits<ref>C'est la proposition VI. 8 d'Euclide {{harv|Vitrac|1994|p=176}}.</ref>.

Ensuite deux variantes sont possibles.

==== Par les aires des triangles semblables ====
Cette démonstration<ref>Une telle démonstration est donnée par exemple dans {{article |revue=APMEP |date=mars-avril 2017 | numéro = 523| pages = 12| nom = Bkouche| prénom = Rudolf| titre = Sur les démonstrations du théorème de Pythagore|url=https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA17024.pdf |format=pdf |passage=198}}.</ref> s'appuie sur L'égalité des aires :
: Aire(AHC) + Aire (CHB) = Aire(ACB)
Les aires des trois triangles semblables AHC, CHB et ACB, portées par les côtés AC, CB et AB sont proportionnelles aux carrés de ces côtés<ref group=Note>C'est, pour des triangles semblables quelconques, la proposition 19 du livre VI {{harv|Vitrac|1994|p=199}}. De façon plus moderne : les hauteurs des triangles semblables étant dans le même rapport que les côtés, le [[Triangle#Aire|calcul de l'aire du triangle]] donne immédiatement le résultat.</ref>. L'égalité précédente donne donc le théorème de Pythagore, en simplifiant par le coefficient de proportionnalité :
:AC<sup>2</sup> + BC<sup>2</sup> = AB<sup>2</sup>.
Cette démonstration n'est cependant pas exactement celle du livre VI des ''Éléments'', même si elle n'utilise que des résultats de l'exposé euclidien disponibles à la {{nobr|proposition 31}}<ref>{{harvsp|Bkouche|2017|p=198}}.</ref>.

==== Par AB = AH + HB ====
Dans sa démonstration de la proposition 31, Euclide utilise directement :
: {{math|§=AB = AH + HB}}
en montrant que {{math|AH}} est, relativement à {{math|AB}}, comme le carré de {{math|AC}} relativement à celui de {{math|AB}}, de même que {{math|HB}} est, relativement à {{math|AB}}, comme le carré de {{math|CB}} relativement à celui de {{math|AB}} d'où le résultat<ref>{{harvsp|Vitrac|1994|p=237}} ; Euclide parle de [segments de] droites, et non de longueurs, et de figures semblables sur les côtés, et non de carré d'une longueur.</ref>.
En détaillant, et modernisant<ref>Voir {{harvsp|Cousquer|p=13}} pour une présentation similaire de cette démonstration.</ref>, les triangles HAC et CAB sont semblables donc :
: {{sfrac|AH|AC}} = {{sfrac|AC|AB}}, soit {{math|§=AH×AB = AC<sup>2</sup>}}. (1)
De même, les triangles {{math|HCB}} et {{math|CAB}} étant semblables :
: {{sfrac|HB|CB}} = {{sfrac|CB|AB}}, soit {{math|§=HB×AB = BC<sup>2</sup>}}. (2)
Comme {{math|§=AB = AH + HB}}, en additionnant (1) et (2), on obtient :
{{retrait|{{math|§=AB<sup>2</sup> = AC<sup>2</sup> + BC<sup>2</sup>}}.}}

=== Selon Euclide, livre I ===
[[Fichier:PythagoreEuclide0.svg|thumb|left|upright=1.4|alt=Figure dite du moulin à vent, avec un triangle ABC sur les côtés duquel sont formés trois carrés BCED, ABFG et ACIH. La hauteur de ABC issue de A coupe [BC] en J et [DE] en K.|Figure pour la démonstration d’Euclide, dite parfois « du moulin à vent ».]]
[[Fichier:PythagoreEuclide.ogv|thumb|alt=Transport de deux domaines d’aire constante sur la figure précédente, du triangle ACI au triangle CEJ puis du triangle ABF au triangle BJD.|Présentation animée de la démonstration d’Euclide.]]
La démonstration présentée par [[Euclide]] dans le livre I des ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]''{{sfn|Vitrac|19990|p=282-284}} s’appuie sur les précédentes propositions, en particulier la proposition 4 — en termes modernes deux triangles ayant un angle de même mesure entre deux côtés de mêmes longueurs sont [[triangles isométriques|isométriques]], et la proposition 41 du livre {{I}} sur [[aire d'un triangle]] :
{{Citation bloc|Si un parallélogramme et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera [d’aire] double du triangle.}}

Sur les côtés d’un triangle ABC rectangle en A, sont construits extérieurement des carrés BCED, ABFG et ACIH. La hauteur de ABC issue de A coupe le côté opposé [BC] en J et le segment [DE] en K.

Il s’agit de démontrer que l’aire du carré BCED est égale à la somme des aires des carrés ABFG et ACIH.

Les triangles BCF et ABD ont même angle en B (c’est-à-dire l’angle du triangle ABC augmenté d’un angle droit) et par construction, {{nobr|1=BF = AB}} et {{nobr|1=BC = BD}}. Donc les triangles BCF et ABD ont même aire. Or d’après la proposition 41, l’aire du triangle BCF vaut la moitié de celle du carré ABFG et l’aire du triangle ABD vaut la moitié de celle du rectangle BDKJ. Donc le carré ABFG et le rectangle BDKJ ont même aire.

De même, les triangles BCI et ACE ont même angle en C avec les égalités {{nobr|1=AC = CI}} et {{nobr|1=BC = CE}} donc ils ont même aire, donc d’après la proposition 41, le carré ACIH a même aire que le rectangle CEKJ.

Finalement, le carré BCED se décompose en deux rectangles BDKJ et CEKJ, dont les aires sont celles de ABFG et ACIH respectivement, ce qui termine la démonstration.

[[Pappus d'Alexandrie]] donne une démonstration de son [[théorème de Clairaut (géométrie)|théorème sur les aires]], pour un triangle quelconque sur les côtés duquel sont construits des [[parallélogramme]]s, qui fournit en la particularisant au triangle rectangle sur les côtés duquel sont construits des carrés, une démonstration du théorème de Pythagore alternative à celle d'Euclide, qui utilise des parallélogrammes plutôt que des triangles, et qui pourrait s'insérer au même endroit de l'exposé euclidien<ref>Celle-ci est détaillée dans {{harvsp|Vitrac|1990|p=285-287}}. Le principe est celui de la démonstration donnée dans l'article « [[Théorème de Clairaut (géométrie)]] ».</ref>.

=== Par le puzzle de ''Gougu'' ===
[[Fichier:GouguAnim.ogv|Animation du puzzle de Gougu.|vignette]]
Le théorème de Gougu<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://www.chinapage.com/math/s9/pythagoras.html|titre=Proof of Guogu or Pythagoras' Theorem|site=chinapage.com}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Martzloff|1990}}.</ref> de ''gou'' (base) et ''gu'' (hauteur)<ref>{{harvsp|Chemla et Shuchun 2005|loc=chap. 9}}.</ref> est reconstitué d’après les commentaires du mathématicien chinois [[Liu Hui]] ({{sap|III}}) sur le ''Jiuzhang suanzhu'' {{langue|zh|九章算術}} « [[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]] » ([[-206|206 av.]]–[[220|220 apr. J.-C.]]), et le ''[[Zhoubi Suanjing]]'' {{langue|zh|周髀算經}}, « Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou » (un livre d’[[astronomie]]). Le neuvième chapitre du livre ''Les neuf chapitres'', classique mathématique de la Chine ancienne, s’ouvre sur un énoncé du théorème de Pythagore avec le commentaire laconique : {{citation|la base multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par elle-même un carré bleu-vert et l’on fait en sorte que ce qui entre et ce qui sort se compense l’un l’autre (...) alors (...) on engendre par réunion l’aire du carré de l’hypoténuse}}. Cette preuve utilise le principe du [[puzzle]] : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Euclide, dans sa propriété de cisaillement, utilise le même principe.

L’absence d’illustration associée à ce commentaire réduit les historiens à émettre des conjectures pour sa reconstitution. Le dessin ci-contre est proposé par [[Jean-Claude Martzloff]]<ref>{{harvsp|Martzloff|2006|p=297}}.</ref> d’après une édition de 1892 des ''Neuf chapitres''. Le triangle rectangle y est tracé en gras, le carré de la hauteur a été tracé à l’extérieur du triangle, le carré de la base et celui de l’hypoténuse sont tournés vers le triangle. Les parties des carrés des côtés de l’angle droit qui dépassent du carré de l’hypoténuse ont été découpées et replacées à l’intérieur de ce carré. Le triangle rouge est égal au triangle de départ. Le triangle jaune a pour grand côté de l’angle droit le petit côté du triangle de départ et a mêmes angles que le triangle initial. Le triangle bleu a pour grand côté de l’angle droit, la différence des côtés du triangle initial et a mêmes angles que le triangle initial.

[[Karine Chemla]]<ref>{{harvsp|Chemla et Shuchun 2005|p=680}}.</ref> appuie plutôt son raisonnement sur une figure ''fondamentale'' associée au texte du ''[[Zhoubi suanjing]]'' et formée d’un triangle 3 - 4 - 5 dans laquelle on peut lire de nombreuses relations liant les trois côtés du triangle rectangle. Elle interprète le commentaire de Liu Hui comme une nouvelle lecture de la figure fondamentale avec déplacement des 3 pièces 1 - 2 - 3 de l’extérieur du carré dans le carré de l’hypoténuse.
{|
|-
|[[Fichier:Chinese pythagoras.jpg|thumb|upright=1.5|Figure de l’hypoténuse de laquelle on peut déduire<ref group=Note>Le commentaire du ''Zhoubi suanjing'' consiste à remarquer que le carré de l’hypoténuse est formé de 4 triangles vermillon d’aire ''ab''/2 et d’un carré jaune central d’aire (''b – a''){{2}}.</ref><br> ''c''{{2}} = 4 (''ab'')/2 + (''b – a''){{2}}<br>ou bien aussi<br>(''a + b''){{2}} – 4''ab''/2 = ''c''{{2}}.]]
|[[Fichier:GouguChemla1.svg|vignette|Les pièces forment deux carrés dont les dimensions sont celles des côtés du triangle rectangle.]]
|[[Fichier:GouguChemla2.svg|vignette|Les pièces à l’extérieur du carré de l’hypoténuse sont venues se placer à l’intérieur.]]
|}
Quant à Li Jimin<ref>Karine Chemla dans {{harv|Chemla et Shuchun 2005}} fait référence à l’interprétation (1993) de cet historien {{p.|682}}.</ref>, il attribue au ''Zhoubi Suanjian'' la paternité de la première démonstration, il s’appuie lui aussi sur la figure fondamentale et fait pivoter les triangles (1-2) et 3 sur leur pointe pour les installer dans le carré de l’hypoténuse. Un tel découpage, avec pivotement des deux triangles, apparaît également en Europe au {{s-|XIX}} chez [[George Biddell Airy]] et [[Philip Kelland]]<ref>{{Lien web|auteur=Serge Cantat|url=http://images.math.cnrs.fr/Decoupage-d-Airy-et-theoreme-de-Pythagore.html|titre=Découpage d’Airy et théorème de Pythagore|site=[[Images des mathématiques]]|année=2015}}.</ref>.

[[Fichier:Pythagoras-2a.gif|vignette|droite|Une animation, qui n'a pas de prétention historique, pour une preuve par réarrangement issue d'un livre de mathématiques japonais du {{s-|XIX}}, voir {{lien web|lang=en |titre=Pythagorean Theorem, Proof #10|site=www.cut-the-knot.org|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#10}}, utilisant la même figure.]]

{{clr}}

=== Par le produit scalaire ===
Cette preuve s'inscrit dans un contexte tout à fait différent. Dans un [[espace vectoriel euclidien]], les définitions mêmes de la [[norme (mathématiques)|norme]], du [[produit scalaire]] et de l'[[orthogonalité]] sont déjà d'une certaine façon associées à une forme du théorème de Pythagore (voir [[#Distance euclidienne|ci-dessus]]).

Par [[Application bilinéaire|bilinéarité]] du [[produit scalaire]], pour deux vecteurs quelconques <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> :
:<math>\|\vec u+\vec v\|^2 =(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u + \vec v)=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2 + 2 \vec u\cdot\vec v</math>,
soit :
:<math>\|\vec u+\vec v\|^2 =\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\Longleftrightarrow \vec u\cdot\vec v = 0</math>,
ce qui, en définissant l'orthogonalité de deux vecteurs par la nullité de leur produit scalaire, fournit
une version vectorielle du théorème de Pythagore (et de sa réciproque).

Dans un [[espace affine euclidien]] la longueur {{math|''AB''}} d'un segment {{math|[''AB'']}} est la norme du vecteur <math>\overrightarrow{AB}</math>. Les vecteurs portés par les côtés d’un triangle {{math|''ABC''}} vérifient la [[relation de Chasles]] :
:<math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}</math>
et le résultat précédent donne :
:<math>AB^2 = AC^2 + CB^2 \Longleftrightarrow\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0</math>.
autrement dit le théorème de Pythagore et sa réciproque, quand l'orthogonalité est définie par la nullité du produit scalaire.

=== Visualisation par des méthodes physiques ===
[[Fichier:01-Satz des Pythagoras-W.gif|vignette|Illustration du théorème de Pythagore avec des réservoirs de liquides.]]
Le théorème de Pythagore étant un théorème portant sur des aires, celles des carrés dont les bases sont les côtés du triangle, on peut le visualiser grâce à des réservoirs de liquide de volume proportionnel aux différentes aires. On peut alors constater que le volume du plus grand réservoir est égal à la somme des volumes des deux autres réservoirs plus petits. Il ne s'agit cependant pas d'une démonstration.
On peut également citer d'autres méthodes non mathématiques, par exemple il en existe une mécanique utilisant un équilibre de forces<ref>On trouvera cette démonstration [http://www.geogebratube.org/student/m56279 ici], et [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PTcom3.shtml une critique détaillée de cette démonstration] {{en}} sur le site Cut The Knot.</ref>.
{{-}}

== Généralisations ==
=== Pour un triangle quelconque ===
[[Fichier:Triangle with notations 2.svg|vignette|alt=Triangle ABC avec les notations AB=''c'', AC=''b'', BC=''a'', d’angle α en A, β en B et γ en C|Notations usuelles dans un triangle quelconque.]]
{{article détaillé|loi des cosinus}}

La loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi donne une formule faisant intervenir les longueurs des côtés et le [[cosinus]] de l'un des [[angle]]s d'un triangle quelconque. L’angle de mesure {{mvar|γ}}, le côté opposé de longueur ''c'' et les deux autres côtés de longueurs respectives ''a'' et ''b'' sont reliés par la relation :

{{retrait|<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2\,a\,b\,\cos(\gamma)</math>.}}

Si l’angle γ est droit, son cosinus est nul et la formule se réduit à la relation du théorème de Pythagore. S'il n'est pas droit, le cosinus de l'angle γ est non nul, ce qui donne la réciproque. Cette généralisation permet de traiter des problèmes de calcul d’angles et de distances dans un triangle quelconque.
[[Fichier:Lunules.svg|vignette|gauche|alt=Triangle rectangle avec les lunules formées sur les cathètes.|Propriété des lunules.]]

=== Avec d'autres figures formées sur les côtés ===
Euclide mentionne dans les ''Éléments''<ref name="Euclide"/> (proposition 31 du livre {{VI}}) :
{{citation bloc|Dans les triangles rectangles, la figure construite sur l’hypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables et semblablement construites sur les côtés qui comprennent l’angle droit.}}
En appliquant cette généralisation à des demi-disques formés sur chaque côté d’un triangle rectangle, il en découle le [[théorème des deux lunules]], selon lequel l’aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des [[Lunule (géométrie)|lunules]] dessinées sur chaque côté de l’angle droit.
[[Fichier:Pappus area theorem proof2.svg|vignette|Le théorème de « Clairaut », dû à Pappus.]]

=== À un triangle quelconque et à des parallélogrammes ===
{{Article détaillé|théorème de Clairaut (géométrie)}}
[[Pappus d'Alexandrie]], à la proposition 1 du livre IV de sa ''Collection Mathématique''<ref>{{harvsp|Vitrac|1990|p=285-286}}.</ref>, donne une autre généralisation — nommée souvent en France [[théorème de Clairaut (géométrie)|théorème de Clairaut]] — valable sur un triangle quelconque, sur les côtés duquel sont construits des parallélogrammes : sur le dessin ci-contre, la somme des aires des deux parallélogrammes en gris foncé égale celle du parallélogramme en gris clair. Pappus prenait le parallélogramme BUVC, plutôt que LBCM dont il est le translaté.

=== En plus grande dimension ===
L’hypoténuse d’un triangle rectangle pouvant se concevoir comme la diagonale d’un rectangle, une généralisation du théorème en dimension supérieure peut s’énoncer comme suit :

{{retrait|Dans un pavé droit, le carré de la grande diagonale est égal à la somme des carrés des dimensions du pavé.}}

Ce résultat est équivalent au calcul de la longueur d’un segment à partir des coordonnées cartésiennes de ses extrémités dans un [[base orthonormale|repère orthonormé]] :

{{retrait|<math>AB {{=}} \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}</math>}}

ou, en dimension supérieure, si {{mvar|A}} est de coordonnées {{math|(''x{{ind|i}}'')}} et {{mvar|B}} de coordonnées {{math|(''x{{'}}{{ind|i}}'')}} :

{{retrait|<math>AB {{=}} \sqrt{\sum_i(x'_i-x_i)^2}</math>.}}

Cette dernière formule est encore valable dans un [[espace de Hilbert]] de dimension infinie et aboutit notamment à la [[égalité de Parseval|formule de Parseval]].

Le [[théorème de Gua]] donne une autre généralisation du théorème de Pythagore dans un espace euclidien : si un [[tétraèdre]] a toutes ses arêtes orthogonales en un sommet alors le carré de l’aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

=== En arithmétique : le théorème de Fermat-Wiles ===
[[Fichier:Pierre de Fermat.jpg|vignette|redresse|alt=Portrait de Pierre de Fermat, peint au {{s-|XVII}}.|Pierre de Fermat, inspiré par le problème des triplets pythagoriciens.]]
La recherche exhaustive des triplets pythagoriciens est un problème [[arithmétique]] à part entière. Elle a pu être motivée par la construction de triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont commensurables. Elle ouvre la porte à la recherche de triplets satisfaisant une équation plus générale : {{nobr|1=''a{{exp|n}} + b{{exp|n}} = c{{exp|n}}'',}} où l’exposant ''n'' est un entier supérieur à 2. L’absence de solution lorsque l’exposant est supérieur ou égal à 3 est la [[conjecture de Fermat]], qui n’a été définitivement démontrée que plus de trois siècles plus tard par [[Andrew Wiles]].

=== En géométrie non euclidienne ===
Le théorème de Pythagore est équivalent (en admettant les autres [[axiomes de Hilbert|axiomes de la géométrie]]) à l'[[axiome des parallèles]]<ref>{{lien web|lang=en|titre=The Pythagorean Theorem is Equivalent to the Parallel Postulate|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml|auteur=Scott E. Brodie|éditeur=Cut The Knot}}.</ref>, qui peut être rédigé ainsi :

{{Théorème|Axiome des parallèles|Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.
|style=display:table}}

Cela signifie que, dans les [[axiome]]s de la géométrie euclidienne, on peut remplacer l'« axiome » des parallèles par le « théorème » de Pythagore sans que les autres résultats de la géométrie soient modifiés. Les statuts d'axiome et de théorème de ces deux résultats sont alors inversés : le « théorème » de Pythagore devient un axiome (une vérité de base, indémontrable, sur laquelle s'appuie la théorie) et l'« axiome » des parallèles devient un théorème, qui peut être démontré à l'aide de Pythagore.

Dans d'autres géométries, l'axiome des parallèles est remplacé par un autre qui le contredit, et le théorème de Pythagore n'est donc plus vrai.

[[Fichier:Triangle trirectangle.png|vignette|droite|alt=Triangle formé par trois grands cercles à la surface d’une sphère, se coupant deux à deux à angle droit.|Triangle trirectangle à la surface d’une sphère, pour lequel la relation du théorème de Pythagore ne s’applique pas.]]

En [[trigonométrie sphérique]], si un triangle est formé par trois [[cercle|arcs]] de [[grand cercle|grands cercles]] à la surface d’une [[sphère]] de rayon {{mvar|R}} et si deux de ces arcs se croisent à angle droit, la relation du théorème de Pythagore n’est plus valable, comme dans le cas du [[triangle (géométries non euclidiennes)|triangle équilatéral trirectangle]]. Elle doit être remplacée par la formule<ref>[[Franz Friedrich Ernst Brünnow|Franz Brünnow]], ''Traité d'astronomie sphérique et d'astronomie pratique : Astronomie sphérique'', Gauthier-Villars, 1869, [https://books.google.fr/books?id=tw5SAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA13#v=onepage&q&f=false Formules relatives aux triangles rectangles], {{p.|13}}.</ref> :

:<math>\cos \left(\frac cR\right) = \cos \left(\frac aR\right)\cos \left(\frac bR\right)</math>

où <math>c</math> est la longueur de l’arc opposé à l’angle droit.

Une relation similaire existe en [[géométrie hyperbolique]]<ref>{{Ouvrage|auteur1=Saul Stahl|titre=The Poincaré half-plane|sous-titre=a gateway to modern geometry|éditeur=Jones & Bartlett Learning|année=1993|pages totales=298|passage=122|isbn=0-86720-298-X|lire en ligne={{Google Livres|TABicHVMQhMC|page=122}}|numéro chapitre=8. 2|titre chapitre=Hyperbolic right triangle}}.</ref> pour une courbure constante égale à −1/''R'' :

:<math>\cosh\left(\frac cR\right)=\cosh\left(\frac aR\right)\cosh\left(\frac bR\right)</math>

où {{math|cosh}} désigne la fonction [[cosinus hyperbolique]].

Dans les deux cas, un [[développement limité]] à l’ordre 2 redonne, pour des triangles de faible dimension, la relation du théorème de Pythagore en géométrie plane.

Plus généralement, la propriété résiste mal au transfert dans d’[[géométrie non euclidienne|autres géométries]] à cause de leur [[courbure]] :
* si la courbure est positive : <math>c^2 < a^2 + b^2</math> ;
* si la courbure est négative : <math>c^2 > a^2 + b^2</math> ;
* si la courbure est nulle : <math>c^2 = a^2 + b^2</math>.

Dans le cadre de la [[relativité générale]], l’espace euclidien est remplacé par un espace courbe où les segments sont remplacés par des géodésiques.
La théorie de la [[relativité générale]] soutient que la [[matière]] et l’[[énergie (physique)|énergie]] conduisent l’[[Espace (notion)|espace]] à être non euclidien et le théorème ne s’applique donc pas strictement en présence d’énergie. Cependant, la déviation par rapport à l’espace euclidien est faible sauf auprès d’imposantes sources gravitationnelles comme les [[trou noir|trous noirs]]. Déterminer si le théorème est enfreint sur d’importantes échelles cosmologiques, c’est-à-dire mesurer la [[courbure spatiale|courbure de l’Univers]], est un problème ouvert pour la [[cosmologie]].

=== Calcul numérique ===
En [[informatique]], le calcul direct de la longueur de l'hypoténuse par le théorème de Pythagore, par élévation au carré puis racine carrée de la somme, peut conduire pour des valeurs extrêmes (très grandes ou très faibles en [[valeur absolue]]) à des erreurs de [[dépassement d'entier|dépassement]] ou de [[soupassement]] : l'étape intermédiaire d'élévation au carré peut mener à des résultats non représentables, par exemple pour la norme très utilisée [[IEEE 754]], et donc à un résultat final de 0 ou « infini », alors même que le résultat final est lui-même représentable. L'algorithme de [[Cleve Moler|Moler]]-Morrisson, dérivé de la [[méthode de Halley]], est une [[méthode itérative]] efficace qui évite ce problème<ref>{{article|lang=en |prénom=Augustin A. |nom=Dubrulle |titre=A Class of Numerical Methods for the Computation of Pythagorean Sums |journal=IBM Journal of Research and Development |volume=27 |numéro=6 |pages=582–589 |année=1983 |url=http://blogs.mathworks.com/images/cleve/dubrulle.pdf<!-- http://www.research.ibm.com/journal/rd/276/ibmrd2706Q.pdf -->|doi=10.1147/rd.276.0582 | citeseerx = 10.1.1.94.3443 }}.</ref>.

{{article détaillé|Somme pythagoricienne}}

== Culture ==
Le théorème de Pythagore est mentionné dans ''[[La Planète des singes]]'', de [[Pierre Boulle]]. Le narrateur, considéré comme un animal dépourvu d’intelligence, détrompe en effet son interlocuteur en traçant une figure géométrique qui illustre le théorème.

Le chansonnier [[Franc-Nohain]] a composé un [[quatrain]] qui cite le théorème<ref>Entrée « Pythagore (théorème de) » dans {{harvsp|Baruk|1992}}.</ref> :
{{vers|texte=Le carré de l’hypoténuse
Est égal, si je ne m’abuse
À la somme des carrés
Construits sur les autres côtés.}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=Note}}

=== Références ===
{{Références|taille=30}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| commons = Category:Pythagorean theorem
| wikiversity = Triangle rectangle
| wikiversity titre = Triangle rectangle
| wikibooks = Théorème de Pythagore (E-M)
| wikibooks titre = Exercices sur le théorème de Pythagore
| wiktionary = théorème de Pythagore
}}

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|prénom1=Stella|nom1=Baruk|lien auteur1=Stella Baruk|titre=Dictionnaire de mathématiques élémentaires|éditeur=|année=1992|isbn=|référence simplifiée=Référence:Dictionnaire de mathématiques élémentaires (Baruk)}}
* {{ChemlaShuchun}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1={{Lien|lang=de|Christopher Cullen}}|titre=Astronomy and Mathematics in Ancient China|sous-titre=The ‘Zhou Bi Suan Jing’|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2007|pages totales=241|isbn=978-0-521-03537-8|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=aLNH6p719q4C}}<!--affiché comme source mais cité nulle part-->
*{{chapitre|lang=en|nom1=Høyrup|prénom1=Jens |lien auteur1=Jens Høyrup|titre chapitre=Pythagorean ‘Rule’ and ‘Theorem’ – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics|page=393–407|url= http://akira.ruc.dk/~jensh/publications/Pythrule.pdf|année=1998|titre ouvrage = Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft, 24.–26. März 1998 in Berlin|auteurs ouvrage=Johannes Renger (ed.)|éditeur= Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag}}
* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Eli |nom1=Maor |lien auteur1=Eli Maor |titre=The Pythagorean Theorem |sous-titre=A 4,000-Year History |lieu=Princeton, New Jersey |éditeur=[[Princeton University Press]] |année=2007 |pages totales=259 |isbn=978-0-691-12526-8 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&printsec=frontcover}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jean-Claude|nom1=Martzloff|lien auteur1=Jean-Claude Martzloff|titre=A History of Chinese Mathematics|éditeur=Springer|année=2006|isbn=3-540-33782-2}}
* {{Article | lang=en | prénom = Eleanor |nom = Robson |lien auteur1=Eleanor Robson | titre = Words and pictures: new light on Plimpton 322 | url=http://www.joma.org/images/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf |année=2002 |lien périodique=American Mathematical Monthly|revue=Amer. Math. Month.|volume = 109 | numéro = 2 | pages = 105–120 | doi = 10.2307/2695324}}.
*{{Ouvrage| langue=en| prénom1=Corinna| nom1=Rossi| titre=Architecture and Mathematics in Ancient Egypt| éditeur=[[Cambridge University Press]]| année=2007| pages totales=280| isbn=978-0-521-69053-9}}
* {{Ouvrage|prénom1=Bernard|nom1=Vitrac|titre=Euclide Les Éléments Volume 1. Introduction générale ([[Maurice Caveing]]). Livres I à IV|éditeur=[[PUF]]|année=1990|isbn=2130432409}}, en particulier notices du Livre I, ''Sur Pythagore et le « théorème de Pythagore »'', {{p.|311-321}}.
* {{Ouvrage|prénom1=Bernard|nom1=Vitrac|titre=Euclide Les Éléments Volume 2. Livres V à IX|éditeur=[[PUF]]|année=1994|isbn=2130455689}}, en particulier le livre VI, avec une généralisation et une démonstration (indépendante de celle du livre I) proposition 31, {{p.|236}}.

=== Articles connexes ===
*Contexte
**[[Livre I des Éléments d'Euclide]]
**[[Formulaire de géométrie classique]]
*Problèmes reliés
**[[Racine carrée de deux]]
**[[Triplet pythagoricien]]
**[[Dernier théorème de Fermat]]
**[[Pavage de Pythagore]]
**[[Théorème de Pythagore inversé]]
*Généralisations
**[[Théorème de Clairaut (géométrie)]], un cas plus général, avec des parallélogrammes autour d’un triangle quelconque
**[[Loi des cosinus]] (Le théorème de Pythagore généralisé) avec un peu de trigonométrie
*Ouverture
**[[Courbure spatiale]]

=== Liens externes ===
{{liens}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Théorème de géométrie|Pythagore]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Histoire des mathématiques]]
[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]
[[Catégorie:Article contenant une démonstration]]