Discussion:Axiomes de Peano

J'ai changé le début parce que les axiomes écrits ne sont pas ceux donnés par Peano (tout au moins dans la source à ma disposition) ; par exemple, pour Peano, les entiers commencent par 1. J'ai supprimé l'allusion au théorème de complétude parce qu'elle était fausse. Le théorème de complétude assure qu'une proposition est démontrable (au sens syntaxique) si et seulement si elle est vraie dans TOUT modèle. Ce qui était dit était en contradiction avec le théorème d'incomplétude de Gödel, première forme : pour toute théorie des entiers rausonnablement formalisée, il existe des propositions vraies (dans le modèle usuel) et non démontrables (incomplétude ou indécidabilité - il y a une subtile différence - de l'arithmétique). CD 8 fev 2005 à 13:21 (CET)

J'ai enlevé le lien avec l'analyse non-standard : il était erronné. L'analyse non-standard utilise soit une extension élémentaire de N (donc pas un modèle non-standard de l'arithmétique de Péano construit à partir du thérème d'incomplétude), soit une extension de ZF (axiomes IST de Nelson). Comme de plus, la méthode de Robinson utilise un ultraproduit (en fait une extension élémentaire sur un langage beaucoup plus large que celui de l'arithmétique : le langage contient toutes les fonctions de N dans N), je n'ai pas pensé pertinent de faire le lien entre l'analyse non standard et les modèles de Péano élémentairement équivalents à N.

J'ai aussi donné une autre méthode de constructions de modèles non standards.

CB

J'ai rétabli le lien avec l'analyse non standard, car l'idée me semblait tout de même intéressante, mais dans une version qui j'espère vous conviendra (vous êtes manifestement plus au courant que moi, n'hésitez pas à resupprimer), et fait passé votre méthode, qui est plus "standard", en premier. Proz 11 mai 2006 à 22:16 (CEST)

Heu dans le chapitre "Arithmétique de Peano" on dit qu'il y a 7 axiomes, et après on voit une liste de 8 axiomes. Erreur de frappe ou axiome qui n'en est pas un? Valvino 22 juin 2006 à 23:52 (CEST)

Il était précisé : "ainsi qu'une infinité dénombrable d'axiomes" ; c'est le schéma d'axiomes qui est numéroté 8 et qui représente une infinité d'axiomes. C'était donc correct. J'ai quand même un peu reformulé et complété. Proz 24 juin 2006 à 16:01 (CEST)

Cet article ainsi que celui sur N laissent penser qu'on ne peut pas envisager N différemment qu'avec les axiomes de Peano (et donc le principe de récurrence). Exagération? Ou vérité?

Nuance de vocabulaire qui me semble peu claire et peu usuelle

La distinction faite dans l'article entre :

• les 5 axiomes de Peano (originels semble t-il) exprimés en 2nd ordre et
• les 7 axiomes de Peano (dérivés semble t-il) de l'arithmétique de Peano, eux exprimés en 1er ordre,

me semble peu clairement exprimée (même si je comprends bien la différence). Et surtout cette distinction me semble avaliser un vocabulaire qui ne me semble pas forcément usuel à savoir : si on parle des axiomes de Peano on serait dans le 2nd ordre mais si on parle de l'arithmétique de Peano on serait dans le 1er ordre. J'avoue que je ne connais pas une telle nuance d'expression, et vous ? --Epsilon0 ε₀ 25 mars 2011 à 17:26 (CET)

Il me semble très très usuel d'appeler "arithmétique de Peano" la théorie du 1er ordre. On doit avoir une ref dans Cori-Lascar (?). "Axiomes de Peano" : considérés "au 2nd ordre", disons modulo la théorie des ensembles, comme d'habitude en math (hors logique). Je en comprends pas les "quoi". Proz (d) 25 mars 2011 à 18:59 (CET)

Ah, donc j'ai du ne pas remarquer cette distinction de vocabulaire usuel alors. Je vais regarder dans Cori et Lascar et dans les ouvrages que j'ai. Sinon, les quoi que j'ai mis étaient pour souligner, avant de songer d'aller sur cette pdd, les passages qui m'interloquaient ; vu que c'est dit ici je m'en vais les supprimer. Sinon même si ton intervention m'amène à penser que je me gourre, je me permets de mettre à la suite le texte que je voulais ajouter en précision au mien avant d'avoir vu ta réponse, quitte à ce qu'il soit en partie caduc. --Epsilon0 ε₀ 25 mars 2011 à 21:45 (CET)

Pour préciser mon intervention, Pour moi (= mon savoir passif du à mes études/lectures) on a une distinction essentielle qui s'exprime en distingant :

• L'arithmétique du 1er ordre = théorie arithmétique définie comme ensemble (infini : car shéma d'axiomes de récurrence) d'axiomes du 1er ordre, et
• L'arithmétique du 2nd ordre = théorie arithmétique définie comme ensemble (fini: sans shéma d'axiomes de récurrence) d'axiomes du 2nd ordre,

Et nullement une distinction qui s'exprime en disant que d'un côté (2nd d'ordre) on a des axiomes et de l'autre (1er ordre) on a l'arithmétique. Sinon la précision de Peano est utile

• dans ce cadre uniquement pour préciser la forme (apparemment du 2nd ordre selon l'article ) originelle qu'avaient les papiers de Peano (que je ne pssède pas) ; "uniquement" car cela relève d'une question historique et non théorique OU
• pour préciser que c'est l'arithmétique incomplète (avec la multiplication) de Peano à distinguer de l'arithmétique complète (sans multiplication) de Presburger. En passant, sans être sûr, cette distinction complet/incomplet ne fait p-e. sens que dans une présentation du 1er ordre, vu qu'en 2nd ordre on n'a pas un vrai thm de complétude.

Sinon j'ai ajouté "=" dans le langage de l'arithmétique, à la réflexion ce n'est pas forcément judicieux (n'hésitez à supprimer), car dans ce cas la théorie doit inclure les axiomes de l'égalité qui sont quasi toujours admis implicitement dès que l'on use de ce symbole et ... qui sont quasi toujours omis dans les présentations usuelles.

Aussi pour reprendre mon interrogation, de quoi parle précisément cet article ?

• De l'arithmétique exprimé en 1er ou 2nd ordre, donc pour faire simple de N et des autres modèles de la théorie qui ont N comme segment initial puis des flopées de Q à sa suite ? chose, de nouveau dit en pssant en digression, mais c'est p-e. du à une malcompréhension de ma ^part, qui semble être incomprise quand on parle d'arithm non standard .... comme si c'était LA bonne et définitive théorie arithmétique, lors qu'elle est évidemment elle aussi incomplète ; mais il y a sans doute qqch que je n’ai pas compris.OU
• Des axiomes initialement donnés par Peano qui ultérieurement on pu être formulés différemment, ce que laisse suggérer l'entête de l'article ?

--Epsilon0 ε₀ 25 mars 2011 à 21:48 (CET)

J'ai beaucoup de mal à te suivre. Quelle serait LA bonne théorie arithmétique ? Quel est le rapport avec Presburger ? L'égalité : il y a un calcul des prédicats égalitaire, un th. de complétude pour ce calcul. 2nd ordre a deux sens en logique, et je ne sais pas trop duquel tu parles. Cela a un sens de parler de structures vérifiant les axiomes de Peano en th. des ensembles, ce n'est juste pas une théorie autonome, il n'y a pas à ajouter "+" et "x" qui se définissent. On doit pouvoir trouver des choses dans Moschovakis, Notes on set theory par ex. Proz (d) 26 mars 2011 à 00:26 (CET)

Oui désolé j'ai digressé sur trop de choses, j'y reviendrai p.-e. mais pas avant 4-5 jours. Là mon pb était bcp + basique (simple vocabulaire) et ta modif va dans le bon sens : laisser croire que si on dit "arithm" on est dans le 2nd ordre et que si on dit "axiome" on est dans le 1er. Mais c'est plus une petite ambiguïté que je pourrais reprendre mais un peu + tard. --Epsilon0 ε₀ 26 mars 2011 à 21:09 (CET)

Mon impression (et qui correspond à peu près ce qui est dans l'article, qui doit venir de en:) est que l'on parle d'axiomes de Peano aussi bien pour les axiomes 2nd ordre (disons "modulo la th. des ens."), que pour la théorie du 1er ordre, et que par contre, en logique au moins, arithmétique de Peano renvoie à l'arithmétique du 1er ordre avec au moins + et *. L'arithmétique du 2nd ordre désigne aussi une théorie axiomatique en logique du 2nd ordre, qui peut être vue comme une théorie du 1er ordre déguisée (donc complétude avec des modèles ad hoc, incomplétude etc.). Ce questions, autour des sens différents de "théorie" ne sont jamais très claires. Proz (d) 27 mars 2011 à 22:39 (CEST)

Pb de numéros

Suite à ça, compréhensible autant que le revert qui a suivi, j'étais 2 doigts de renuméroter la 2^e série d'axiomes en remplaçant 1. par « 1. et 2. », 2. par « 3. » etc., et (dans la phrase litigieuse) « proposition 4 » par « proposition 5 », pour mettre en concordance les numérotations des 1^e (informelle) et 2^e (formelle) séries, mais ça risque de perturber des liens internes qui par exemple feraient référence à « l'axiome formel n°4 » (actuel). Ce serait pourtant l'idéal àma (mieux que de renuméroter la 1^e série à partir de 0, car j'imagine (?) que ces numéros de 1 à 5 sont standard) mais j'ai la flemme de fouiller les liens internes. Si personne n'a ce courage, un pis-aller facile serait préciser cette phrase. Anne Bauval (d) 31 mai 2011 à 20:42 (CEST)

J'ai harmonisé : il n'y a aucune numérotation standard à mon avis, d'autant que ce ne sont pas les axiomes "historiques", et on peut toujours ne pas faire références dans les autres articles à des numéros (ça devient illisible). Il me semble bien l'avoir reformulé quand j'ai vu ce genre de trucs. On pourrait aussi regrouper les deux listes en une (pas sûr que d'appeler (N,0,s) (E,x,f) apporte grand chose). Il faudrait aller voir des bouquins à l'occasion (Moschovakis, Halmos ?). Proz (d) 31 mai 2011 à 22:44 (CEST)

Un peu d'archéologie wikipédique : les "structures de Dedekind-Peano" viennent très probablement de la version anglaise qui a abandonné ce vocabulaire (pour lequel je n'ai pas de source) en 2007, ils parlent maintenant simplement de modèle des axiomes de Peano (ce qui parait clair). Je ne suis pas pour reprendre les axiomes historiques de Peano avec l'égalité comme le fait la version anglaise (plus personne ne fait ça, ça pourrait être mentionné dans une section histoire). On pourrait cependant simplifier ce double énoncé et cette histoire de structure de Dedekind-Peano. Par ailleurs je confirme que la numérotation n'est pas standard : les deux seuls bouquins dans lesquel j'ai cherché, Halmos (naive set theory) et Moschovakis (notes on set theory) donnent deux listes numérotées différemment, entre elles et de celle-ci. Proz (d) 1 juin 2011 à 20:40 (CEST)

Un axiome redondant ou pas ?

Bonjour,

Je suis peut‑être simpliste, mais si c’est le cas, je veux savoir où.

J’ai l’impression que dans …

1. $E$ est un ensemble, $x$ est un élément de $E$,
2. $f$ est une application de $E$ dans lui-même,
3. $x\notin f\left(E\right)$,
4. $f$ est injective,
5. Tout sous-ensemble $F$ de $E$ contenant $x$ et stable par $f$ (c'est-à-dire que $f\left(F\right)\subset F$) est égal à $E$.

… le quatrième axiome est une conséquence des trois premiers, et qu’il est redondant. --Hibou57 (d) 8 août 2012 à 20:06 (CEST)

Exemple d'un triplet (E,f,x) satisfaisant les axiomes 1, 2, 3 et 5 mais pas le 4 : E={0, 1, 2}, x=0, f(0)=f(2)=1, f(1)=2. Anne (d) 8 août 2012 à 21:22 (CEST)

En plus simple vu la question précise, E={0, 1}, x=0, f(0)=f(1)=1 satisfait 1, 2 et 3 mais pas 4. D'ailleurs, sauf erreur, si E est un ensemble fini, on a : (1 et 2 et 3) --> non 4. Sinon, attention, p.-e. n'est-ce pas clair dans l'article, mais ces points 1. -- 5. ne sont pas des axiomes de Peano. --Epsilon0 ε₀ 8 août 2012 à 21:58 (CEST)

Source des axiomes

Il est un peu perturbant de constater que si l'on compare à l'article anglophone , le nombre et la nature des axiomes divergent. En effet l'article anglais fait état de 9 axiomes de logique du premier ordre et 15 axiomes pour l'arithmétique de Peano du second ordre. N'y a-t-il pas de consensus international sur cette axiomatisation ? Quelles pourraient être les sources aujourd'hui consultables concernant les travaux de Peano ? Nico⁹² 12 mars 2014 à 11:24 (CET)