Théorème de Ptolémée

Figure du théorème de Ptolémée.

Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne est une relation algébrique entre les longueurs des côtés et des diagonales d'un quadrilatère, équivalente à l'inscriptibilité du quadrilatère (dans un cercle). L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Claude Ptolémée, qui s'en servit pour ses calculs liés à l'astronomie.

Énoncé

Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

Ce théorème peut être traduit par :

Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe $ABCD$ est inscriptible si et seulement si$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$

Démonstration

L'équivalence

Le théorème de Ptolémée est une conséquence directe du cas d'égalité dans l'Inégalité de Ptolémée, dont la démonstration utilise que quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont cocycliques (dans cet ordre) si et seulement si une inversion centrée en un de ces points envoie les trois autres sur trois points alignées (dans cette ordre).

L'implication directe par raisonnement géométrique

Soit $ABCD$ un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles ${\widehat {BAC}}$ et ${\widehat {BDC}}$ sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même ${\widehat {ADB}}={\widehat {ACB}}$.

Construisons le point K tel que $K\in [AC]$ et ${\widehat {ABK}}={\widehat {DBC}}$.

On a alors ${\widehat {ABD}}={\widehat {ABK}}+{\widehat {KBD}}={\widehat {DBC}}+{\widehat {KBD}}={\widehat {KBC}}$.

Ainsi, les triangles $ABK$ et $DBC$ sont semblables (figure du milieu), de même que $ABD$ et $KBC$ (figure de droite).

On obtient les relations suivantes (voir « Triangles semblables ») : ${\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}$ et ${\frac {CK}{BC}}={\frac {DA}{BD}}$

d'où $AK\cdot BD=AB\cdot CD$ et $CK\cdot BD=BC\cdot DA$

en additionnant il vient $(AK+CK)\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ et par construction $AK+CK=AC\,$.

On en déduit l'égalité du théorème : $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$.

Second théorème de Ptolémée

Second théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère inscriptible non croisé $ABCD$, les longueurs des côtés et des diagonales vérifient la relation :

${\frac {AC}{BD}}={\frac {AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}}$

En effet, l'aire d'un triangle ABC inscrit dans un cercle de rayon R étant donnée par ${\mathcal {A}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}$

En écrivant l'aire totale du quadrilatère comme somme des deux triangles ayant même cercle circonscrit, on obtient selon la diagonale choisie :

${\mathcal {A}}_{tot}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}+{\frac {CD\cdot DA\cdot AC}{4R}}={\frac {AC\cdot (AB\cdot BC+CD\cdot DA)}{4R}}$

${\mathcal {A}}_{tot}={\frac {AB\cdot BD\cdot DA}{4R}}+{\frac {BC\cdot CD\cdot DB}{4R}}={\frac {BD\cdot (AB\cdot DA+BC\cdot CD)}{4R}}$

En égalant, le produit en croix donne bien la relation annoncée.

Voir aussi

Articles connexes

• Inégalité de Ptolémée
• Théorème de Casey
• Théorème de Pythagore

Lien externe

Une démonstration du théorème et de sa réciproque sur le site « Descartes et les Mathématiques »