Lemme de Kronecker

Le lemme de Kronecker est un résultat d'analyse concernant les séries de nombres réels.

Enoncé —  Si $u_{n}$ est le terme général d'une série convergente, et si $(b_{n})_{n}$ est une suite croissante de réels positifs divergeant vers l'infini, alors :

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}u_{k}=0$

Sa forme la plus connue, utilisée en particulier en probabilités dans une preuve classique de la loi des grands nombres, est la suivante :

Si la série de terme général ${\frac {x_{n}}{n}}$ converge alors ${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}$ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Preuve

Notons $s_{n}:=\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}$ et $b_{0}:=0$. Une transformation d'Abel donne :

${\begin{aligned}{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}u_{k}&={\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}(s_{k}-s_{k+1})\\&={\frac {1}{b_{n}}}\left(\sum _{k=1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})s_{k}-b_{n}s_{n+1}\right)\\&={\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})s_{k}-s_{n+1}\end{aligned}}$

Comme la suite $(s_{n})_{n}$ tend vers 0, le second terme tend vers 0, et le premier aussi d'après le lemme de Cesàro généralisé.