Pour tous réelsX et Y tels que,il existe des entiers x et y tels que
Shoup démontre cet énoncé dans le cas particulier où X et Y sont entiers[4], puis l'applique à X = Y = 1 + ⌊√m⌋, pour m non carré[5].
LeVeque préfère appliquer la variante suivante à X = √m[3] : pour tout réel X tel que , il existe des entiers x et y tels que [6]. Cette variante se déduit de l'énoncé ci-dessus, appliqué à un réel suffisamment proche de .
Remarque
En général, la solution (x, y) dont ce lemme garantit l'existence n'est pas unique et le rationnelx⁄y lui-même ne l'est pas : par exemple, si m = a2 + 1 et X = Y = a + 1 ≥ 2, on a deux solutions (x, y) = (1, a), (a, –1).
Sous d'autres hypothèses[7] — incompatibles cependant avec celles du lemme de Thue — l'éventuelle solution est unique.
Le lemme de Thue se généralise[8] en remplaçant les deux inconnues par s inconnues et la congruence linéaire par le système homogène de r congruences associé à une matrice à coefficients entiers à r lignes et s colonnes :
Si alors, pour tous réels positifs tels que
,
il existe des entiers tels que
[9].
Démonstrations
Preuve du théorème de Brauer et Reynolds. Notons le plus grand entier strictement inférieur à , c'est-à-dire que est la partie entière par excès de . On a doncLe nombre des s-uplets d'entiers tels que vérifie :Il est donc strictement supérieur au nombre des valeurs possibles des r-uplets images, dans , par . Par conséquent (d'après le principe des tiroirs), il existe deux s-uplets distincts ayant même image. Leur différence est la solution annoncée.
Preuve du lemme de Thue. Appliquons le théorème de Brauer et Reynolds au cas particulier , en notant l'inconnue et son majorant . Les hypothèses et (donc ) assurent l'existence d'un couple d'entiers tel que , et . Puisque de plus , on a donc n'est pas nul (sinon, le serait aussi, puisqu'il serait congru à mod ). Enfin, quitte à remplacer si nécessaire par son opposé, est positif.
Le lemme de Thue permet par exemple de démontrer la proposition suivante, utile dans le théorème des deux carrés[3] :
Si alors il existe des entiers premiers entre eux tels que et .
Démonstration
En appliquant le lemme de Thue à puis en choisissant ou (selon le signe de ), on obtient et .
On remarque alors que ou est strictement inférieur à , même si est un carré. En effet, si pour un entier (nécessairement impair), on montre facilement que .
On en déduit que (puisque et ).
Enfin, et sont premiers entre eux car si divise et alors donc .
Réciproquement, si avec et premiers entre eux (donc premiers avec m) alors –1 est le carré modulo m de l'entier défini modulo m par .
(no) A. Thue, « Et bevis for at lignigen A3 + B3 = С3 er remulig i hele fra nul forsk jellige tal A, B og С », Archiv. for Math. og Naturvid, vol. 34, no 15, 1917, selon (en) Alfred Brauer et R. L. Reynolds, « On a theorem of Aubry-Thue », Canad. J. Math., vol. 3, , p. 367-374 (DOI10.4153/CJM-1951-042-6) et (en) William J. LeVeque, Fundamentals of Number Theory, Dover, (1re éd. 1977) (lire en ligne), p. 180 ;
(no) A. Thue, « Et par antydninger til en taltheoretisk metode », Kra. Vidensk. Selsk. Forh., vol. 7, , p. 57-75, selon (en) Pete L. Clark, « Thue's Lemma and Binary Forms », .
↑Dans la version de LeVeque 2014, p. 180 de ce lemme, l'hypothèse pourtant indispensable est remplacée par , et l'hypothèse additionnelle de LeVeque ne suffit pas à garantir la condition supplémentaire qu'il énonce dans sa conclusion.