Alternative de Fredholm
En analyse fonctionnelle — une branche des mathématiques —, l’alternative de Fredholm, qui généralise l'un des théorèmes d'Ivar Fredholm[1],[2] — systématisés par Friedrich Riesz[3] —, est un résultat de la théorie de Fredholm (en) donc de la théorie spectrale des opérateurs compacts (en). Motivée par l'étude de certaines équations intégrales, elle a fait émerger la notion d'opérateur de Fredholm. Elle énonce entre autres que tout scalaire non nul du spectre d'un opérateur compact est une valeur propre de cet opérateur.
Énoncé[modifier | modifier le code]
L'alternative de Fredholm est la suivante[4] :
Autrement dit : T – λIdE est injectif si et seulement s'il est surjectif.
Plus précisément :
- T – λIdE est un opérateur de Fredholm d'indice 0, c'est-à-dire que la codimension de son image et la dimension de son noyau sont égales et finies[5] ;
- dans le cas où T – λIdE est bijectif, sa bijection réciproque est continue.
- Remarques
-
- Puisque T/λ est encore compact, il revient au même d'énoncer le théorème seulement pour λ = 1.
- Le cas particulier où T est un endomorphisme de rang fini est un simple corollaire du théorème du rang, selon lequel codim(kerT) = rang(T) (sur un corps quelconque).En effet, si F est un supplémentaire de ker(T – IdE) ⊕ kerT alors il est isomorphe à son image par T – IdE et
im(T – IdE) = (T – IdE)(kerT) ⊕ (T – IdE)(F) = kerT ⊕ (T – IdE)(F) donc
codim(im(T – IdE)) + dim(F) = codim(ker(T)) = dim(ker(T – IdE)) + dim(F). - L'hypothèse supplémentaire « E complet » est classique[4] mais superflue.
- L'image im(T – IdE) est fermée et son orthogonal dans E' est ker(tT – IdE)[5],[6]. Si E est un espace de Hilbert[7], les sous-espaces im(T – IdE) et ker(T* – IdE) sont supplémentaires orthogonaux l'un de l'autre.
Formulations particulières[modifier | modifier le code]
Équations intégrales[modifier | modifier le code]
Soient
- I un intervalle réel,
- K une fonction de I × I dans ℝ ou ℂ telle que l'opérateur à noyau T associé, défini sur L2(I) parsoit compact — une condition suffisante pour cela est qu'il soit de Hilbert-Schmidt, c'est-à-dire que |K| soit de carré intégrable — et
- λ un scalaire non nul.
Considérons l'équation intégrale de Fredholm du premier type (c'est-à-dire homogène), ainsi que sa version du second type,
L'alternative de Fredholm[1] dit que soit la première équation a une solution non nulle, soit la seconde admet une solution pour tout f.
Spectre[modifier | modifier le code]
L'alternative de Fredholm peut se reformuler de la sorte[9] :
Soient E un espace vectoriel normé réel ou complexe et T un opérateur compact de E dans E. Un scalaire non nul est soit valeur propre de T, soit dans le domaine de définition de sa résolvante
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) B. V. Khvedelidze, « Fredholm theorems for integral equations », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne), Theorem 3.
- I. Fredholm, « Sur une classe d'équations fonctionnelles », Acta Math., vol. 27, , p. 365-390 (DOI 10.1007/BF02421317).
- (de) F. Riesz, « Über lineare Funktionalgleichungen », Acta Math., vol. 41, no 1, , p. 71-98 (DOI 10.1007/BF02422940).
- (en) Terence Tao, « A proof of the Fredholm alternative », .
- Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions][réf. incomplète].
- (en) Yuri A. Abramovich et Charalambos D. Aliprantis, An Invitation to Operator Theory, AMS, coll. « GSM » (no 50), (lire en ligne), p. 74.
- (en) Alexander G. Ramm, « A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators », Amer. Math. Monthly, vol. 108, , p. 855 (arXiv math/0011133).
- Inspirée de (en) Fei-Tsen Liang, « Compactness, Fredholm Alternative and Spectrum », sur Academia Sinica.
- (en) Todd Rowland, « Fredholm Alternative », sur MathWorld.